¿Cómo se puede hacer un fractal?

¿Cómo se puede hacer un fractal?

Generador de fractales

En matemáticas, fractal es un término utilizado para describir formas geométricas que contienen una estructura detallada a escalas arbitrariamente pequeñas, y que suelen tener una dimensión fractal que supera estrictamente la dimensión topológica. Muchos fractales parecen similares a varias escalas, como se ilustra en las sucesivas ampliaciones del conjunto de Mandelbrot[1][2][3][4] Esta exhibición de patrones similares a escalas cada vez más pequeñas se denomina autosimilaridad, también conocida como simetría expansiva o simetría desdoblada; si esta replicación es exactamente igual en cada escala, como en la esponja de Menger,[5] la forma se denomina autosimilar afín. La geometría fractal se encuentra dentro de la rama matemática de la teoría de la medida.

Una de las diferencias entre los fractales y las figuras geométricas finitas es su escala. Si se duplican las longitudes de los bordes de un polígono relleno, se multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la nueva y la antigua longitud de los lados) elevado a la potencia de dos (la dimensión convencional del polígono relleno). Del mismo modo, si se duplica el radio de una esfera rellena, su volumen se multiplica por ocho, que es dos (la relación entre el radio nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de tres (la dimensión convencional de la esfera rellena). Sin embargo, si todas las longitudes unidimensionales de un fractal se duplican, el contenido espacial del fractal escala por una potencia que no es necesariamente un número entero y que, en general, es mayor que su dimensión convencional[1]. Esta potencia se denomina dimensión fractal del objeto geométrico, para distinguirla de la dimensión convencional (que se llama formalmente dimensión topológica)[6].

¿Cómo se crean las imágenes fractales?

El arte fractal se consigue a través de los cálculos matemáticos de los objetos fractales que se muestran visualmente, con el uso de transformaciones autosimilares que se generan y manipulan con diferentes propiedades geométricas asignadas para producir múltiples variaciones de la forma en patrones continuamente reducidos.

¿Es posible un fractal?

Los algoritmos fractales han permitido generar imágenes realistas de objetos naturales complicados y muy irregulares, como los terrenos escarpados de las montañas y los intrincados sistemas de ramas de los árboles.

¿Los fractales son eternos?

Estos fractales son especialmente divertidos porque son eternos, es decir, infinitamente complejos.

Comercio fractal

Hace tiempo, hice un curso en el instituto llamado «Geometría». Quizá tú también lo hiciste. Aprendiste sobre las formas en una dimensión, en dos dimensiones y quizás incluso en tres. ¿Cuál es la circunferencia de un círculo? ¿El área de un rectángulo? ¿La distancia entre un punto y una línea? Ahora que lo pienso, en este libro hemos estado estudiando la geometría, utilizando vectores para describir el movimiento de los cuerpos en el espacio cartesiano. Este tipo de geometría suele denominarse geometría euclidiana, en honor al matemático griego Euclides.

El término fractal (del latín fractus, que significa «roto») fue acuñado por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. En su obra seminal «The Fractal Geometry of Nature», define un fractal como «una forma geométrica tosca o fragmentada que puede dividirse en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia a tamaño reducido del conjunto».

Figura 8.2: Uno de los patrones fractales más conocidos y reconocibles lleva el nombre del propio Benoit Mandelbrot. Generar el conjunto de Mandelbrot implica comprobar las propiedades de los números complejos después de pasarlos por una función iterativa. ¿Tienden al infinito? ¿Permanecen acotados? Aunque es una discusión matemática fascinante, este algoritmo de «tiempo de escape» es un método menos práctico para generar fractales que las técnicas recursivas que examinaremos en este capítulo. Sin embargo, en los ejemplos de código se incluye un ejemplo para generar el conjunto de Mandelbrot.

¿Es el universo un fractal?

El universo no es definitivamente un fractal, pero algunas partes de la red cósmica siguen teniendo interesantes propiedades de tipo fractal. Por ejemplo, los cúmulos de materia oscura denominados «halos», que albergan galaxias y sus cúmulos, forman estructuras y subestructuras anidadas, con halos que albergan sub-halos y sub-sub-halos dentro de ellos.

¿Es un caleidoscopio un fractal?

Originalmente contestado: ¿Los patrones de los caleidoscopios son fractales? Sí, lo son. Hay toda una clase de fractales conocidos como «funciones iterativas caleidoscópicas». Funcionan tomando los puntos en el espacio, rotándolos y luego reflejándolos si rotan más allá de un determinado umbral.

¿Es un mandala un fractal?

Los mandalas y los fractales (es decir, los árboles) siempre se han utilizado en el arte religioso para representar el universo, que nos rodea como un mandala, y aparece similar en todos los niveles como un fractal. Estos mandalas fractales combinan ambos para crear el arte metafísico definitivo, que es a la vez muy abstracto y visionario.

Calculadora de fractales

«¿Por qué la geometría se describe a menudo como «fría» y «seca»? Una de las razones radica en su incapacidad para describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y la corteza no es lisa, ni los rayos viajan en línea recta» (Mandelbrot, 1982 p. 1)

Estas son las palabras del matemático polaco-francés Benoit Mandelbrot, que introdujo de forma célebre el concepto de fractal y sus aplicaciones. Llamó al fenómeno fractal, derivado de la palabra latina fraʹctus, que significa roto. En la introducción de su libro La geometría fractal de la naturaleza (Mandelbrot, 1982) afirma que la mayoría de los fractales tienden a tener fragmentación y regularidades estadísticas o irregularidades que se dan en todas las escalas.

Los fractales se diferencian de la geometría euclidiana y sus líneas rectas y curvas suaves por estar fraccionados y no tener una tangente en un punto determinado. Los fractales se utilizan desde finales del siglo XVII. Existen numerosas curvas fractales descubiertas y nombradas por diferentes matemáticos, por ejemplo la curva de Koch, la curva de Minkowski y la curva de Peano. (NE)

¿Qué es un objeto fractal?

En pocas palabras, un fractal es un objeto geométrico que es similar a sí mismo en todas las escalas. Si se amplía un objeto fractal, se verá similar o exactamente igual a la forma original. Esta propiedad se llama autosimilaridad.

¿Qué es un fractal 3D?

Los fractales 3D son una serie de objetos basados en ecuaciones caóticas, a menudo derivados o relacionados con el conjunto de Mandelbrot. También se denominan «mandelmorfos». El término «arte mandelmórfico» se utiliza para describir el arte realizado con este tipo de formas.

¿Es un círculo un fractal?

Originalmente contestado: ¿Es un círculo un fractal? No. Un círculo es una curva suave que es diferenciable en todas partes, con tangentes bien definidas, a diferencia de las curvas fractales. Los círculos no muestran una estructura bajo la ampliación, a diferencia de las curvas fractales.

Cómo se hacen los fractales

Cuando uno piensa en fractales, puede pensar en pósteres y camisetas de Grateful Dead, con colores del arco iris y remolinos de similitud. Los fractales, nombrados por primera vez por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975, son conjuntos matemáticos especiales de números que muestran similitudes en toda la gama de escalas, es decir, tienen el mismo aspecto independientemente de su tamaño. Otra característica de los fractales es que muestran una gran complejidad impulsada por la simplicidad: algunos de los fractales más complicados y bellos pueden crearse con una ecuación poblada con sólo un puñado de términos. (Más adelante se hablará de ello).

Una de las cosas que me atrajo de los fractales es su ubicuidad en la naturaleza. Las leyes que rigen la creación de fractales parecen encontrarse en todo el mundo natural. Las piñas crecen según las leyes fractales y los cristales de hielo se forman con formas fractales, las mismas que aparecen en los deltas de los ríos y en las venas de tu cuerpo. A menudo se ha dicho que la Madre Naturaleza es un diseñador excelente, y los fractales pueden considerarse como los principios de diseño que sigue al armar las cosas. Los fractales son híper eficientes y permiten a las plantas maximizar su exposición a la luz solar y a los sistemas cardiovasculares transportar el oxígeno a todas las partes del cuerpo de la manera más eficiente. Los fractales son hermosos dondequiera que aparezcan, así que hay muchos ejemplos para compartir.